Bibliografía

• Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. MEN. Bogotá

• José Javier Etayo Miqueo “Enseñanza de Las Matemáticas en la Educación Secundaria” ediciones RIALPF  S. A. 1995.

•  Mercedes Ors Lacort  "lineal I/ Linear Álgebra I: Esquemas de Teoría. Volumen 1." 
  
  2008
  
  
  

Enlaces relacionados:

• http://amolasmates.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%20sistemas%20de%20ecuaciones.pd

• http://carmesimatematic.webcindario.com/algebra%202bach.htm

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.htm

• http://juguemate.blogspot.com/2009/05/sistemas-de-ecuaciones-lineales-2x2_6343.htm

Ecuaciones lineales en Geogebra. un applet interactivo que nos permite solucionar sistemas  de ecuaciones lineales y                                                                                                         problemas relacionados  que se puedan modelar por medio de las ecuaciones lineales. Aplicación Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com DUBERNEY HUMBERTO ESPINAL, Creado con GeoGebra

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Resuelve tus ejercicios de ecuaciones lineales y modela algunos problemas relacionados de forma útil y practica:

Ejercicios:

Ø  5x+2y=1

                      -3x+3y=5

Ø  2x+y=6

                      4x+3y=14

Ø  5d-2b=2

                       d+2b=2

Ø  -2t+3u=14

                        3t-u=-14

Ø  2x+3y=2

                      -6x+12y=1

Problema referente:

En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

¿Cómo plantearías una ecuación a esta situación?

¿Cuál es la solución a la pregunta del problema?

Solución:

Debemos definir las variables para plantear las ecuaciones que nos llevaran a la solución. Sea h= # de chicos y m= # de mujeres, sabemos que fueron 55 regalos en total, de a 2 bolígrafos para las chicas y de a un cuaderno para los chicos; y en total son 35 estudiantes.

Planteamiento de las ecuaciones: sea h + m=35 (1), 2m +1h=55 (2)

Ahora por uno de los métodos ya definidos se resuelve el problema así tenemos:

Despejando en  (2)  m=(55-h)/2 , sustituyendo en (1), tenemos que  35=h - (55-h)/2 → 
35= (2h+55-h)/  →  70-55=h  →  h= 15 y ahora si remplazamos el resultado obtenemos en la ecuación (1) m =20.

Problemas propuestos:

1.    Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.

2.    En un triangulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12„a mayor que el otro. .Cuanto miden sus tres ángulos?

3.    La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.

4.    Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.

5.    La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es de 24 cm2. Calcula la longitud de sus dos bases.

6.     La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 anos, .cual es la edad de cada una de ellas?

7.    Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero seria igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.

8.    El perímetro de un triangulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. .Cuanto miden los lados del triangulo?

   Practica y valora tú aprendizaje

   

Algo de teoría

completa la frase y descubre lo que has aprendido

  

lee despacio y relaciona cada frase con lo estudiado en el blogger.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los , los cuales llamaban a las con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con de medida.


Algunos de los métodos para solucionar un sistema de ecuaciones que estudiaremos son el de , sustitución, reducción y .


planteamiento de ecuaciones para la solución de algunos problemas; pues numerosos situaciones de la cotidiana se pueden convertir en problemas que se pueden planteando una ecuación, de primer grado, para llegar a la solución.

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conceptos y definiciones

  

Complete el siguiente crucigrama de acuerdo con las pistas establecidas y lo estudiado en el blogger

1					2
			3
					4
															5
					6
							7							8
				9
	10
					11
											12
				13
14

pistas horizontales 1. donde se encuentran dos objetos 3. poner todo en terminos de una sola variable 4. comparacion de dos ecuaciones lineales iguales 6. son un conjunto de valores que muestran una posición exacta. sistema de referencia 8. forma o manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales 9. no es posible hallar la respuesta 11. ¿el problema quedo en terminos de una? 12. al despejar y encontrar el valor, lo que estamos haciendo es? 13. termino desconocido que puede tomar determinados valores 14. hallar un respuesta para los valores de las variables del sistema

pistas verticales 1. se desconoce su valor 2. ¿cuando metemos un valor encontrado en otra ecuacion estamos? 5. varias ecuaciones lineales forman un? 7. ¿si disminuimos un sistema de ecuaciones lineales estamos utilizando el medoto de? 10. ¿si utilizamos las coordenadas cartecianas y representamos dos rectas estamos haciendo uso del metodo? 12. las ecuaciones, y + x = 5 y x - 8 = 8 representan unas ?

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Referente teórico para el planteamiento y resolución de problemas:

Polya (1976)

Establece: “... se entenderá que resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado que no es conseguible de forma inmediata utilizando los medios adecuados.” (Polya, G. 1981, p. 1)

De forma general Polya establece:

1.  Analizar y comprender el problema: Dibujar un diagrama. Examinar un caso  especial. Intentar simplificarlo.

2.    Diseñar y plantear la solución: Planificar la solución y explicarla.

3. Explorar soluciones: Considerar una variedad de problemas equivalentes. Considerar ligeras modificaciones del problema original. Considerar amplias modificaciones del problema original.                                                                           

4.    Verificar soluciones.

Ahora hacemos un enfoque respecto del planteamiento de ecuaciones lineales para la solución de algunos problemas; pues numerosos situaciones de la vida cotidiana se pueden convertir en  problemas que se pueden resolver planteando una ecuación, de primer grado, para llegar a la solución. En general, se pueden  seguir algunos pasos, algo similar como lo que se menciono anteriormente con polya:

se tiene que: 

1. una comprensión del problema. Se debe leer detalladamente el enunciado del problema para identificar los datos y lo que debemos obtener,  puede ser el valor de una incógnita.
2.  Designar la incógnita que puede ser cualquier letra
3. Planteamiento de una ecuación. Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje matemático mediante expresiones algebraicas, para obtener una ecuación.
4. Resolver  la ecuación obtenida (métodos de solución: igualación, reducción, sustitución y gráfico.
5. Comprobación y análisis de la solución.

Podemos decir además que en el estudio de la matemática desde los estándares curriculares y las necesidades de una sociedad  se viene estableciendo como prioridad que los estudiantes implementen sus conocimientos en la solución de problemas, es decir que tomen un papal activo y funcional dentro de la sociedad. de tal forma que  se van a encontrar que muchas de las situaciones que giran alrededor de la vida de una persona se pueden modelar  a través de una ecuación.

Por ejemplo:

En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

¿Cómo plantearías una ecuación a esta situación?

¿Cuál es la solución a la pregunta del problema?

Desarrollemos el planteamiento de la solución para que aprendas a plantear y desarrollar ecuaciones lineales.

1.    Primero se debe leer bien el problema las veces que sea necesario has el punto de comprender a cabalidad el problema.

2.    Ahora debemos definir las variables para plantear las ecuaciones que nos llevaran a la solución. Sea h= # de chicos y m= # de mujeres, sabemos que fueron 55 regalos en total, de a 2 bolígrafos para las chicas y de a un cuaderno para los chicos; y en total son 35 estudiantes.

3.    Planteamiento de las ecuaciones: sea h + m=35 (1), 2m +1h=55 (2)

4.    Ahora por uno de los métodos ya definidos se resuelve el problema así tenemos:

Despejando en  (2)  m= (55-h) /2, sustituyendo en (1), tenemos que  35=h - ((55-h)/2) → 35= (2h+55-h)/2  →  70-55=h  →  h= 15 y ahora si remplazamos el resultado obtenemos en la ecuación           (1) m =20.

5.    Ahora si Analicemos la respuesta  que se obtuvo con el problema podemos corroborar que no hay contracción con lo que se planteaba inicialmente.