Algunos de los métodos para solucionar un sistema de ecuaciones que estudiaremos son el de igualación,  sustitución,  reducción y gráfico. Resolvamos el siguiente sistema y analicemos los métodos:

Resolver:

8x -10y = -11
-6y+4x = -7


IGUALACIÓN: Este método, llamado también de comparación, consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones y en igualar sus valores.

8x -10y = -11  (1)
-6y+4x = -7    (2)

Despejando x en cada ecuación, tenemos:

x = (-11+10y)/8 (3)

x = (-7+6y)/4    (4)

Por ser el valor de x igual en las dos ecuaciones (3) y (4), resulta:

(-11+10y)/8 = (-7+6y)/4

de donde:

-44+40y = -56 +48y

8y = 12

y = 12/8 = 3/2

Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones (3) o (4), tendremos:

(4) x = [-7+ 6(3/2)]/4

x = 1/2

SUSTITUCIÓN: Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones la incógnita que se quiere eliminar, y en sustituir su valor en la otra.

8x -10y = -11  (1)
-6y + 4x = -7   (2)

La ecuación (1) da: x = (-11+10y)/8   (3)

Sustituyendo este valor en la ecuación (2) tendremos:

-6y + 4[(-11+10y)/8] = -7

De donde:

-48y -44 + 40y = -56

-8y = -12

y = 12/8 = 3/2

Si en la ecuación (3) sustituimos y por este valor, resultará:

x = [(-11+ 10(3/2)]/8

x = 1/2


REDUCCIÓN: (Llamada también eliminación por adicción o sustracción). Consiste este método en transformar las ecuaciones propuestas, en otras en que sean iguales los coeficientes de la incógnita que se desea eliminar.

Luego se SUMAN dichas ecuaciones, si dicha incógnita tiene en ellas "distinto signo", y se RESTAN si lo tienen "igual", quedando así eliminada una incógnita.

8x -10y = -11 (1)
-6y +4x = -7   (2)

Para eliminar la x, multipliquemos por 1 los dos miembros de la primera ecuación y por -2 los de la segunda; estas ecuaciones se transformarán en las siguientes:

8x -10y = -11
12y -8x = 14

que se suman por tener signos contrarios, y resulta:

2y = 3

y = 3/2

Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones (1) o (2), resultará:

(1) 8x - 10(3/2) = -11 ; luego x = 1/2

(2) -6(3/2) + 4x = -7 ; luego x = 1/2


GRÁFICO:

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta.

El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
   
   
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
   
   
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
   
   
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.